三角関数の初歩

目次

• 1. sinとcos
  • 1.1 sinとcosの概念
  • 1.2 ここまでの知識の確認
  • 1.3 sinθとcosθの公式　これが分かっていればOK
• 2. tanの概念　電波の伝搬距離（電離層で反射する場合）の公式に出てきます
• 3. 三平方の定理と三角関数　線路主任技術者を受ける方は見てください
• 4. 練習問題　この問題が解ければ、ここを読む必要はないです。

sinとcos

sinとcosの概念

　結論から言います。以下の図をご覧下さい。
　
　斜辺が1である右下に直角があって左下の角の角度がθ（シータと読みます）の三角形の下の辺の長さをcosθ、右の辺の長さをsinθと定義します。これはθが左下にあった場合です、じゃあ右上にθがあった場合はどうなるかと言うと、
　
となります。ややこしいので、上の図で覚えた方がいいでしょう。

　具体的な値の求め方に行きます。
　θが30度の時、sinθとcosθいくつになるでしょうか？
　
　この三角形は資格試験によく出る、っていうか、これしか普通は出ないぞ、っていう三角形の2番目の三角形と相似です。相似な三角形は対応する辺の比が一緒です。二つの三角形を並べてみましょう。
　
　右の三角形で2のところが、左の三角形では1です。したがって、右の三角形を1/2にしたものが、左の三角形です。
　よって、sin30゜は1/2、cos30゜は(ルート3)/2です。

　θが60度の時、sinθとcosθいくつになるでしょうか？
　
　この三角形はやっぱり資格試験によく出る、っていうか、これしか普通は出ないぞ、っていう三角形の2番目の三角形と相似です。相似な三角形は対応する辺の比が一緒です。二つの三角形を並べてみましょう。
　
　右の三角形で2のところが、左の三角形では1です。したがって、右の三角形を1/2にしたものが、左の三角形です。
　よって、sin60゜は(ルート3)/2、cos30゜は1/2です。

　θが45度の時、sinθとcosθいくつになるでしょうか？
　そろそろ面倒なので、最初から対比させときます。
　
　右の三角形でルート2のところが、左の三角形では1です。したがって、右の三角形を1/(ルート2)にしたものが、左の三角形です。
　よって、sin45゜もcos45゜も1/(ルート2)です。

　では、ここまで分かった事を表にして見ましょう。

	30゜	45゜	60゜
sin
cos

　この表は覚える必要はないです。cos30゜とかが知りたくなったら、実際に三角形を書いてみます。短い辺は1/2、長い辺は2/(ルート3)、45゜の時は1/(ルート2)と覚えておけばおっけーだと思います。
　私の場合は以下の用に思考します(cos30゜の場合）。ちなみにこの考え方が、三角関数の本当の考え方だと思いました。
　
　まず横はcos、縦はsinです。これは暗記。適当に座標を書いて半径1らしき円を書きます。この場合は30゜のcosθの値を知りたいので中心から30゜の角度（適当です）で線（青い線です）をひっぱって、円にあたったら、そっから垂直にx軸まで線（緑の線です）を引きます。
　出来た三角形を見て、ああcos30゜は(ルート3)/2だな、と判断します。三角形の長い辺は(ルート3)/2です。
　1/2と(ルート3)/2という数は当然暗記です。
　おわかり頂けるでしょうか・・・

　あとsinとcosで覚える事柄は角度が0゜又は90゜の時です。
　sin0゜は0、cos0゜は1です。上で説明した円を書くやり方で説明します。
　
　0゜で線を引くと図のようになります。cosの方向に長さが1の線を引くことになります（赤い線）。したがって、cos0゜は1です。でも、sinの方向には線がないですよね。だから、sin0゜は0です。
　おわかり頂けるでしょうか・・・
　90゜の時は面倒なので書きませんが、sinの方向に長さが1の線を引くことになるので、sin90゜は1、cos90゜は0になります。

	0゜	30゜	45゜	60゜	90゜
sin	0				1
cos	1				0

ここまでの知識の確認

　下の図のaの長さを求めなさい。cos40゜の値を0.64とする。
　

　cos40゜が0.64ということは、要するに下の図です。
　
　問題の三角形の斜辺は2cmなので、0.64を2倍して、答えは1.28cmです。

　下の図の三角形のsinθの値を求めなさい。
　

　sinとかcosは斜辺が1の三角形を基準にしています。そこで、斜辺を1cmに縮小してみます。すると下図のようになります。
　
　従って、sinθは6/8=3/4です。

sinθとcosθの公式

重要　要するにこれが分かっていればおっけー
　sinθとcosθの公式は以下のようになっています。
　
　覚え方はcosθの場合、上の図の下を見てください。赤い線でＣを書いているつもりなんですが、順番に分母、分子になります。
　ああ、言ってることがわかんないですね。Ｃを書こうとすると最初にcを通りますよね、だからcが分母に来ます。で、次にbを通ります。そんなわけで分子にbが来ます。sinはその逆と覚えればおっけです。多分、高校に行っていればこうやって習っているはずです・・・

tanの概念

　とりあえず公式。
　
　さらに以下のような性質があります。
　
　tanで覚えなければいけないのは上の公式と、tan45゜= 1です。なんでそうなるかは下図を参照してください。
　

三平方の定理と三角関数

　　と　を見比べます。すると以下の公式が成り立つことが分かります。
重要
　

練習問題

　以下の表の空白部分を埋めなさい。

	0゜	30゜	45゜	60゜	90゜
sin
cos	1				0

　答え。超手抜きです。

	0゜	30゜	45゜	60゜	90゜
sin	0				1
cos	1				0

　下の図と問題の図を比べると問題の図の三角形の方が5倍大きいです（斜辺が5倍になっています）
　
　したがって、a = 5sinθ、 b = 5cosθ。

　
　小学生の時にやったように比を使って見ましょう。
　a : 5 = 1 : sinθ
　a × sinθ = 5 × 1
　a × sinθ = 5
　a = 5 / sinθ

　最初に a : 1 = 5 : sinθ とやっても正解です。

　はじめから
a sinθ = 5 なので
a = 5 / sinθ でもOKです。

　tanθ = 5 / d
　d = 5 / tanθ